2born (2born) wrote,
2born
2born

Categories:

Урок в школе Эйнштейна - 2: Теория радуги

Мой второй и последний фанфик по "Астровитянке" уважаемого Ника Горькавого a.k.a. don_beaver (первый см. тут) вышел в журнале "Квант", № 1 за 2015 год! Еще не знаю, что они там с ним сделали, и предлагаю вниманию уважаемых читателей моего ЖЖ исходную авторскую версию.

Радужное рассеяние

Место профессора Дермюррея за преподавательским столом пустовало, и в то время, как желудки учеников колледжа Эйнштейна наполнялись завтраком, и их сердца наполнялись предвкушением интересной лекции. Ну не любили они желчного Дермюррея, ну что тут поделаешь, но физика-то в этом не виновата! Однако, оставался вопрос: замена преподавателя или замена предмета?
Интрига разрешилась, когда в аудиторию вошел профессор Ван-Теллер.
- Здравствуйте! Вчера вышел новый номер Astrophysical Journal, и у коллеги Дермюррея случилось несварение желудка. Поэтому сегодня вы в моем распоряжении! – профессор улыбнулся своей фирменной улыбкой и потер ладони. - Насколько я понял, вы забрались в атомную и ядерную физику, изучаете рассеяние частиц на различных мишенях, опыт Резерфорда и все такое?
Хор голосов вполне можно было расценить как утвердительный ответ.
- Ну что ж, в таком случае сегодня мы с вами… - профессор снял очки и принялся протирать стекла, - … сделаем шаг назад и… - профессор посмотрел сквозь очки на свет и, видимо, остался доволен результатом, - … поговорим об оптике! – Широкий взмах руки с очками подчеркнул ударение на последнем слове. – Шаг в сторону и обобщение, как говорил один классик. И если вы думаете, что изучили оптику вдоль и поперек, то к концу нашей сегодняшней встречи вы поймете, как глубоко заблуждались!
- Ну конечно, третье измерение: вдоль, поперек, а теперь еще и в глубину… - прошептал Джерри на ухо Никки. Никки тихонько хихикнула, а школьный компьютер не замедлил вывести реплику на классную доску за спиной профессора.
- Вы, похоже, привыкли, что когда я прихожу на замену, то стараюсь обходиться без математики? – продолжал тем временем профессор. Класс одобрительно загудел. – Однако сегодня нам не обойтись совсем без формул, пусть и простых. Как же нам поступить, чтобы не нарушить традицию? – профессор обвел взглядом класс. – Решение напрашивается само собой: пусть формальную сторону нам напомнит… мисс Гринвич!
Одобрительный шум показал, что большая часть аудитории всецело одобряет столь удачное решение проблемы, кое-кто даже зааплодировал.
«Да, быть любимым учеником – нелегкая доля!» - подумала Никки, поднимаясь с места. Профессор, похоже, умел читать мысли, так как закивал головой и заулыбался еще шире.
- Проще всего, - начала Никки, - представить себе пролет классической частицы, например, метеорита, мимо притягивающего тела, например нашей Луны (если частица не притягивается, а отталкивается, это не важно). Не будь этого притяжения, частица двигалась бы по прямой и пролетела бы на расстоянии b от центра притяжения (см. рис. 1). Назовем это расстояние прицельным параметром.
Рис. 1. Траектории частицы в притягивающем поле, соответствующие прицельным параметрам b и b + db.
Рис. 1а. То же в поле отталкивания.

- Из-за притяжения наша частица, пролетая мимо тела, отклонится на некоторый угол θ. Зависимость угла отклонения от прицельного параметра всегда можно рассчитать, если мы знаем закон взаимодействия между налетающей частицей и притягивающим телом. Например, для нашего метеорита это будет старый добрый закон тяготения Ньютона.
- Но вот вопрос: если на наше притягивающее тело налетает не одна частица, а целый их пучок, широкий и однородный, какая доля частиц отклонится на угол θ?
- Изрядная доля частиц твоего метеоритного потока просто врежется в нашу многострадальную Луну! – вмешался принц Дитбит. – Ты можешь подсчитать, сколько?
- И я могу, и все, кто вовремя выполняет домашние задания. Очень простая и красивая задача! – Смех в аудитории подтвердил: задача действительно простая. – Но не будем отвлекаться, - Никки попыталась изобразить на лице выражение строгой учительницы, но без особого успеха, - и рассмотрим оставшиеся метеориты, те, которые не врезались. Понятно даже ежику, которого приносила профессор Франклин на первой паре, что точно попасть в заданный прицельный параметр, а значит, и в заданный угол отклонения, невозможно. Поэтому в задаче рассеяния вопрос ставится так: какая доля частиц рассеется в небольшой интервал углов ∆θ вблизи интересующего нас: от θ до θ + ∆θ? Легко сообразить, что это будут те частицы, которые прилетают под прицельными параметрами между b и b + db (см. рис. 1). И не важно, насколько плотным пучком движутся налетающие частицы, их доля, рассеянная в этот интервал углов, будет пропорциональна ширине «входного» интервала db :
N/N ∝ ∆b ∝ (∆b/∆θ)∆θ ∝ ∆θ/(∆θ/∆b )
Зная зависимость θ(b), мы можем найти величину ∆θ /db (не будем делать вид, будто не знаем, что такое производная) …
- Слава Юпитеру! – не сдержал эмоций мальчик в больших очках на первой парте. – Разве ж это жизнь – без дифференцирования и интегрирования?
- … и даже выразить ее как функцию все того же угла рассеяния θ. Таким образом, доля частиц, вылетающих в заданный интервал углов, будет пропорциональна
N/N∆θ1/(∆θ/∆b )
Глядя на эту формулу, каждый может понять («Даже ежик!» - вполголоса проговорил Джерри), для чего физики строят эти гигантские и дорогие машины – ускорители. Ведь долю рассеянных под тем или иным углом частиц можно измерить экспериментально, поставив под нужным углом счетчик-детектор. А функция θ(b) определяется законом взаимодействия налетающей и рассеивающей частиц! Поэтому эксперимент по рассеянию – это способ промерить закон взаимодействия частиц, а для микроскопически малых расстояний – почти единственный способ!
- Спасибо, мисс Гринвич, достаточно! – Профессор Ван-Теллер жестом отправил Никки на место и обратился к аудитории: - Ну как, понятно было?
Большинство согласно закивало, а Джерри вдруг почувствовал, что не хуже ежика понимает, что дают науке эксперименты на ускорителях. Только группа студентов-аристократов по привычке выдала неодобрительное нытье.
- Прекрасно, 75% успеха – хороший результат для любого преподавателя, в следующий раз в этой роли выступит кто-нибудь другой. И запомните! – гаркнул Ван-Теллер в своем фирменном стиле. - Объяснять что-либо другим – лучший способ разобраться самому!
- Ну а теперь я вам расскажу кое-что новенькое. Формулу мисс Гринвич мы сохраним для дальнейшего использования, в ней есть все, что нам сегодня понадобится, а я, как и обещал, буду только рисовать картинки.
- Как справедливо заметила мисс Гринвич, вычисление и измерение сечения рассеяния позволяет получить массу полезной информации (дома подготовьте рефераты на эту тему, чем больше примеров из разных областей знания, фундаментальных и прикладных, тем лучше, срок – неделя). Но вот беда: рассчитать сечение аналитически можно лишь в нескольких простых случаях, ньютоновское или кулоновское взаимодействие по закону обратных квадратов – один из них. Что делать в остальных?
- Считать численно, на компьютере! – ответил Джерри, и вместе с ним – половина класса.
- Это так. Да только вот компьютер – это всего лишь машина, в нее что заложишь, то и получишь…
- Да уж! – проскрипел старческим голосом суперкомпьютер колледжа.
- … Но что закладывать и как проверить результат? – Тут Ван-Теллер вперил в Джерри такой строгий взгляд, что тот сразу почувствовал: его реферат должен непременно быть самым лучшим! – Нужно уметь заранее, на качественном уровне предугадывать результат, в нашем случае – поведение сечения в зависимости от закона взаимодействия с рассеивающим центром.
- Пусть наш  рассеивающий центр создает отталкивающее поле, спадающее с расстоянием подобно кулоновскому, но ограниченное в нуле (рис. 2). Совсем, казалось бы, небольшое отличие, верно? Но минуту терпения, и вы увидите, сколь драматичны будут изменения!
Рис. 2. Потенциальная энергия частице в отталкивающем кулоновском поле (штриховая кривая) и в поле, ограниченном в нуле (сплошная кривая).

- Пусть энергия нашей частицы больше максимума потенциальной энергии отталкивания в этом поле, так что частице с нулевым прицельным параметром ничто не помешает пролететь сквозь центр поля. Попробуем понять, как в этом случае будет выглядеть функция отклонения θ(b). В нуле угол отклонения, как мы уже сказали, будет нулевым, но и при очень больших прицельных параметрах он тоже будет стремиться к нулю. А что же будет в середине?
- Где-то между этими точками будет максимум, - ответила молчавшая до сих пор Дзинтара. – Как учил великий Поль Адриен Морис Дирак, существует расстояние, на котором женское лицо обладает наибольшей привлекательностью, коль скоро в нуле и на бесконечности привлекательность равна нулю.
Класс взревел дружным хохотом. «Что за ерунда?» - подумал Джерри, бросив быстрый взгляд на профиль Никки и убедившись, что даже классики науки могут ошибаться.
Рис. 3. Пример функции отклонения, приводящей к явлению радужного рассеяния (конкретно, третья ветвь функции отклонения луча света в капле воды радиуса R). 

- Верно! – подтвердил профессор и соединил две точки на рисунке горбатой кривой (рис. 3). А отсюда следуют сразу две вещи. Во-первых, существует некоторый максимальный угол (обозначим его θr ), за пределы которого рассеяние невозможно, сечение там обратится в нуль. А во-вторых, производная ∆θ /b (смотрим все на формулу!) вблизи этого максимума будет стремиться к нулю! А нуль в знаменателе означает…
- Бесконечность! – почти хором ответил класс.
- Точно! Таким образом, сечение будет стремиться к бесконечности, то есть вблизи максимального угла рассеяния qr будет наблюдаться сгущение траекторий. Такая ситуация носит название радужного рассеяния.
- А при чем же здесь радуга? – спросила Дзинтара.
- Очень своевременный вопрос! Давайте вспомним, как образуется радуга?
- После дождя… Преломление света… В каплях воды… - послышались несколько реплик, зависших на середине.
- Вижу, никто толком не знает, - ухмыльнулся Ван-Теллер, - как и ожидалось. Ну, давайте разбираться. Куда должно светить Солнце, чтобы на небе появилась радуга: в лицо вам или в спину?
Мнения в аудитории разделились примерно поровну. «Ох, а я ведь никогда не видела радуги!» - промелькнула грустная мысль в голове у Никки. Но природный оптимизм тут же взял верх: «Сколько еще интересного предстоит увидеть!»
- В спину! – подвел черту под дискуссией профессор Ван-Теллер. – И сейчас вы поймете, почему. Проследим за тем, что случится с лучом света, падающим на сферическую каплю (рис. 4). Во-первых, часть света отразится от поверхности капли. Но эта ветвь функции отклонения не будет обладать нужным нам максимумом. Во-вторых, свет может преломиться на границе, проникнуть внутрь капли, достичь поверхности, снова преломиться и выйти наружу. Этот вариант тоже не даст радуги. И, наконец, он может отразиться от внутренней поверхности, и только после этого покинуть каплю. Именно эта, третья ветвь функции отклонения нам нужна!
Рис. 4. Четыре варианта «судьбы» светового луча в капле воды.

- График именно этой функции я нарисовал на предыдущем рисунке (а формулу выведите самостоятельно, геометрической оптики и элементарной тригонометрии для этого достаточно). Оказывается, максимальный угол отклонения (для видимого света и водяной капли в воздухе) составляет приблизительно 42 градуса, и, как следует из нашей общей теории, вблизи этого направления будет наблюдаться сгущение лучей (рис. 5) или, иными словами, увеличение яркости рассеянного света (рис. 6).
Рис. 5.

- Теперь обратите внимание вот на что. Картинка распределения лучей (рис. 5) будет, как понятно тому самому ежику, симметрична относительно оси, параллельной падающим лучам и проходящей через центр капли. Так что рассеянные лучи будут концентрироваться на поверхности конуса с углом полураствора в те же самые 42 градуса. Но тогда легко понять, почему мы видим на небе дугу. В глаза наблюдателя попадет свет только от тех капель, которые в данный момент находятся под углом 42 градуса к нему, если отсчитывать от направления падающего света. – Для пущей наглядности профессор вытянул перед собой левую руку: - Вот направление падающего света, - правой рукой он пристроил свою знаменитую клюку к плечу левой, так что конец клюки указывал в пространство, - а вот направление на каплю, находящуюся на нужном месте. И еще мне в глаза попадет свет вот от этой капли, - профессор повернул клюку, сохраняя угол между ней и левой рукой, - и вот от этой, и от этой… - конец клюки описал в воздухе дугу.
- Первым это понял Рене Декарт. В далеком 1637 году он не поленился рассчитать углы отклонения для 10 тысяч значений прицельного параметра и обнаружил то самое сгущение лучей вблизи угла радуги. Он же объяснил возникновение радуги второго порядка – да-да, иногда на небе можно увидеть две радуги (рис. 6)! – связанной с четвертой ветвью функции отклонения (рис. 4). У них с радугой первого порядка будет общий центр, а яркость ее будет, разумеется, слабее. Единственное, чего не смог объяснить Декарт – это цветов радуги, ведь в то время еще не знали, что для разных длин волны света показатель преломления воды (и не только ее) имеет различные значения. Теперь мы это знаем и понимаем, что для разных длин волн значение угла радуги θr будет немножко отличаться (кстати, покажите, что чередование цветов в радуге второго порядка будет обратным).
Рис. 6. Радуга первого и второго порядка.

- Конечно, это не мы с вами первые такие умные, еще Ньютон, открывший дисперсию света, проверил теорию радуги экспериментально. Он взял стеклянный шар, наполненный водой, и подвесил его на веревочке, переброшенной через блок. Сидя спиной к солнцу и поднимая шар, он видел постепенную смену цветов. Надо сказать, что со стеклянным шаром как моделью капли экспериментировали многие ученые еще в средние века, до Ньютона и даже Декарта. Кому-то не удалось опубликовать результаты своих исследований при жизни, а кого-то уморили за это в тюрьме.
«И почему я не удивляюсь?» - подумала Никки.
- Волновая оптика существенно обогащает проявления радуги. Во-первых, за счет дифракции свет будет загибаться в область геометрической тени (рис. 7).
Рис. 7. Сечение радужного рассеяния, рассчитанное в рамках геометрической оптики (красная линия) и волновой оптики в приближении Эйри (синяя линия).

Во-вторых, если мы снова посмотрим на функцию отклонения (рис. 3), то увидим, что углам рассеяния, меньшим угла радуги, будут соответствовать два различных прицельных параметра. Эти два луча будут интерферировать между собой, создавая дополнительные максимумы на освещенной стороне радуги (рис. 7). Их иногда можно увидеть в виде слабых розовато-зеленоватых полос (рис. 8).
Рис. 8.

- Приближенную теорию радуги на основе волной оптики построил в 1838 г. британский астроном Джордж Эйри. Да-да, он знаменит не только тем, что не прислушался к молодому Адамсу и проморгал открытие Нептуна! – При этом профессор Ван-Теллер почему-то строго посмотрел на Дзинтару. – Возникшая в теории радуги функция Эйри заняла прочное место в математической физике и, в частности, в квазиклассическом приближении квантовой механики. Точная теория оптической радуги была построена лишь в начале XX века Дебаем и Ми.
- XX век принес нам не только более точную теорию оптической радуги. Вспомните, ведь поведение частиц в квантовой механике обладает волновыми свойствами! В 1959 году Кеннет Форд и Джон Арчибальд Уилер (тот самый, с черными дырами) исследовали возможность радужного рассеяния в квантовой механике и, тем самым, в атомной и ядерной физике. Ядерная радуга – это звучит гордо! В некоторых экспериментах удается увидеть радугу вплоть до десятого порядка!
Прозвеневший звонок вернул учеников и профессора с небес на землю, точнее, не лунную поверхность.
- Я мог бы рассказывать о радуге часами, но, как учил великий Ричард Фейнман, хороший учитель должен уметь вовремя остановиться и передать инициативу студентам. До встречи!
* * *
Во время ланча студенты все еще оставались под впечатлением от лекции.
- В древности у многих народов Земли было поверье, что пробежавшего под радугой ожидает счастье, - произнесла Дзинтара. - Люди всегда были наблюдательны, и заметили, что к радуге нельзя приблизиться – она просто исчезает. Такой вот грустный символ недостижимости счастья, смягченный красотой явления. А красота всегда вселяла надежду.
Джерри был поглощен какими-то вычислениями на своем планшетнике, но в этот момент бросил на Дзинтару быстрый взгляд.
Когда после ланча студенты вышли в парк колледжа, Джерри встал перед Никки и торжественным тоном произнес:
- Сегодня произошли два исторических события! «СеленаТелеком» все-таки перечислил мне зарплату, а в Тропическом парке Луна-сити открывается новый фонтан. Чтобы достойно их отметить, я хочу пригласить тебя в Луна-сити на уикэнд.
* * *
Новый фонтан поражал воображение: с высокой скалы, нависавшей над искусственным озером, низвергался самый настоящий водопад, окутанный тучей брызг. Огибающая озеро дорожка, достигнув скалы, сменялась решетчатыми мостками с перилами, уводившими в пространство между скалой и потоком падающей воды. Желающие освежиться устремлялись по этим мосткам и со смехом выскакивали с другой стороны, а какой-то галантный кавалер раскрыл над своей спутницей невесть откуда взявшийся на Луне зонтик.
Был полдень по гринвичскому времени, которому подчинялся ритм местной жизни, но астрономический лунный полдень давно уже миновал, и светившее сквозь прозрачный купол Солнце отбрасывало заметные тени. Никки и Джерри не спеша шли по дорожке вокруг озера, приближаясь к водопаду, как вдруг…
В воздухе, заполненном водяными брызгами, вспыхнула и засияла удивительно чистыми и легкими красками она, радуга! От ощущения воздушности этого свечения, исходившего будто бы ниоткуда, захватывало дух.
- Так вот она какая! – воскликнула Никки. – Все фотографии в Интернете, вместе взятые, - ничто!
- Никки! – Джерри говорил громко, то ли от волнения, то ли от желания перекрыть шум воды.  - Помнишь, что говорила Дзинтара? Но мы-то теперь знаем, откуда берется радуга! Даже если мы перестанем ее видеть, капельки по-прежнему будут на нужных местах! Мы можем пробежать под ней!
Они посмотрели друг другу прямо в глаза, а потом, взявшись за руки, помчались по рукотворной тропинке.

* * *
Изложение теории радуги зачастую отсутствует даже в весьма солидных учебниках оптики. В свое время автору этих строк пришлось разбираться в предмете по популярным статьям [1-3] и монографии [4]. Зато с завидной регулярностью в периодике появляются обзоры по радуге, в том числе, ядерной (см., например, [5-7]). Для полноты списка упомянем также классические работы Форда и Уилера [8, 9], в которых впервые рассматривалась радуга в квантовой теории рассеяния.

Литература
1. Нуссенцвейг Х. Теория радуги // УФН 125 (1978) 527-547.
2. Пономарев Л.И. Числа радуги // Химия и жизнь, 1981, № 10, с. 44-50.
3. Трифонов Е.Д. Еще раз о радуге // Соросовский образовательный журнал, 2000, № 7, с. 53-58.
4. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1985. - 279 с.
5. Ogloblin A.A. et al. Nuclear Rainbow in Scattering and Reactions and Nucleus–Nucleus Interaction at Small Distances // ЯФ 66 (2003) 1523-1533.
6. Khoa D.T. et al. Nuclear rainbow scattering and nucleus–nucleus potential // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 34 (2007) R111.
7. Adam J.A. The mathematical physics of rainbows and glories // Phys. Rep. 356 (2002) 229-365.
8. Ford K.W., Wheeler J.A. Semiclassical description of scattering // Ann. of Phys. 7 (1959) 259-286 (reprinted in  Ann. of Phys. 281 (2000) 608-635).
9. Ford K.W., Wheeler J.A. Application of semiclassical scattering analysis // Ann. of Phys. 7 (1959) 287-322.



Tags: Мегаучебник или Что я читал и похвалил, графотворчество невидимого профессора, книгоиздательское, лирика, няшный университет, популяризация, теория радуги, юмор
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 39 comments