2born (2born) wrote,
2born
2born

Category:

Пара теорем о полиномиальной глобальной интерполяции

Еще одна интересность-полезность от уважаемого vincentfischer . Сам когда-то нарвался: понадобилось проинтерполировать насколько точек, вспомнил матанализ первого курса, построил, офигел:))))


Оригинал взят у vincentfischer в Пара теорем о полиномиальной глобальной интерполяции
В обязательном курсе анализа есть чудесная теорема
Теорема. (Вейерштрасс) Если на отрезке задана непрерывная функция , то ее сколь угодно хорошо можно приблизить полиномом на этом отрезке, то есть, говоря формально, существует такая последовательность полиномов на , что
Иногда ее несчастливо напоминают и в курсе вычислительной математики; это приводит к тому, что многие несознательные товарищи начинают говорить (и делать) совсем несуразные вещи. Намеряют каких-нибудь точек, назначат им нулевые ошибки и начинают интерполировать - то бишь, как они думают, примерно восстанавливать зависимость в промежутках между измеренными точками; и чтобы лучше восстановить, возьмут побольше точек и степень интерполирующего полинома побольше. Ну как же, вот по теореме выше можно же любую функцию забороть полиномом, и чем степень полинома выше, тем больше он похож на действительность.
Конечно, в нормальных курсах ВМ пытаются в некоторой степени избавить от этой иллюзии, показывая т.н. пример Рунге. Напоминаю, что Карл Рунге в качестве исходной функции взял
и предположил, что мы измеряем ее на равномерной сетке (т.е. абсциссы точек измерения отстоят на равные расстояния). Вполне типичная ситуация - пусть это будет спектральная линия какая-нибудь, уширенная за счет столкновений в газе. И вот какой-нибудь студент измеряет ее с дикой точностью (ну или ему так кажется), разумеется, на сетке с постоянным шагом, чтобы в журнал удобно было заносить, и начинает натягивать на измерения полином. Он не слушает дядечку-техника, который советует ему фитировать лоренцев контур лоренцевым распределением, а верует в матан (теперь ему уж точно кажется). Ну как же, в первом случае только три свободных параметра, и поэтому некоторые точки не ложатся ровно на кривую, а во втором, с полиномом, он столько возьмет, чтобы "точно" свою линию провести. Вот что у него получится

Поведение интерполяции в примере Рунге; цитировано по Форсайту
Разумеется, полином бьется на хвостах. Почему это происходит, сейчас не важно (ну хотя бы потому, что на бесконечности он должен уйти на бесконечность), важно, что частенько так бывает. Ну и пример Рунге какбы поучает.
Но мне кажется более поучительна в этом случае следующая теорема, которая у нас почему-то в курс включена не была; вот она
Теорема. (Фабер) Если на отрезке задан интерполяционный массив (т.е. набор сеток, на которых будут проводится измерения: первая группа меряет на одной сетке, вторая - на второй, чуть сдвинутой, потом первая перемеряет на третьей, более мелкой, и т.д.), то найдется такая непрерывная функция и такая точка , что значения интерполяционных полиномов в этой точке (i-ый полином строится по результатам i-ой серии измерений функции ), не будут сходиться к .
Т.е. составьте план эксперимента, укажите, где будете мерить, как будете уточнять, глобально интерполируйте после каждой серии измерений, и вполне вероятно, что между измеренными точками вы даже близко не угадали. И смена плана на ходу тут не поможет, разумеется.
Объяснение кажущегося противоречия между приведенными двумя теоремами простое (если вы еще вдруг не догадались): полином у Вейерштрассе к интерполяции никакого отношения не имеет, он может нашу функцию только пару раз пересечь, но за это мы выигрываем глобальную близость полинома и функции. Итерполяционный полином точно совпадает с ней в большом числе точек, но на этом гарантии их близости кончаются.
Tags: Мегаучебник или Что я читал и похвалил, наука, образование, популяризация
Subscribe

  • Взываю к коллективному разуму: кто это???

    Вчера сфотографировал вот такую серую птичку, спинка у нее коричневатая. Размер обычный, типа воробья-варакушки-овсянки... Получилось неплохо…

  • Муха

    Поскольку горихвостки относятся к мухоловковым, то в диалектическую пару к ней публикую мухарика, снятого в тот же день, но уже в лесу:…

  • Едящие в терновнике

    Итак, в птичий четверг начинаю подробный рассказ о недавнем пребывании в гуще стаи длиннохвостых синичек. Они перепархивали с ветки на ветку в…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 16 comments

  • Взываю к коллективному разуму: кто это???

    Вчера сфотографировал вот такую серую птичку, спинка у нее коричневатая. Размер обычный, типа воробья-варакушки-овсянки... Получилось неплохо…

  • Муха

    Поскольку горихвостки относятся к мухоловковым, то в диалектическую пару к ней публикую мухарика, снятого в тот же день, но уже в лесу:…

  • Едящие в терновнике

    Итак, в птичий четверг начинаю подробный рассказ о недавнем пребывании в гуще стаи длиннохвостых синичек. Они перепархивали с ветки на ветку в…